sourceksa.com

Exponenciális Egyenletek Feladatok

Új változó bevezetésével láthatóvá válik a másodfokú egyenlet. Az exponenciális egyenletek megoldásának utolsó lépése mindig az exponenciális függvény szigorú monotonitásából következik. Ha az alapok és a hatványok egyenlők, akkor a kitevők is.

Matematika - 11. osztály | Sulinet Tudásbázis

Másodfokú egyenletet kaptunk, melyet a megoldóképlettel oldunk meg. A gyökök egészek, tehát benne vannak az értelmezési tartományban. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy mindkét megoldás helyes. A következő feladathoz új ötletre van szükség, a kitevőket nem lehet egyenlővé tenni. Alkalmazzuk a hatványozás azonosságát, miszerint ha a kitevőben összeg van, azt azonos alapú hatványok szorzataként is írhatjuk. Ezután vonjuk össze a bal oldalt. A ${2^x}$ (ejtsd: 2 az x-ediken) ki is emelhető, hogy világosabb legyen az összevonás. Innen már ismerős a módszer, megegyezik az előző példák megoldásával. Az eredmény helyességét az ellenőrzés igazolja. A következő feladatot is ezzel a módszerrel oldjuk meg! Ha a hatványkitevő különbség, akkor hatványok hányadosát írhatjuk helyette, ha pedig összeg, akkor szorzatot. 24-szer 5 az 120, 1 ötöd egyenlő 0, 2. (ejtsd: 0 egész 2 tized) Mindkét oldalt elosztjuk 123, 8-del. (ejtsd: százhuszonhárom egész nyolc tized) A kapott gyök kielégíti az eredeti egyenletet.

Végül egy harmadik feladattípus következik: a másodfokú egyenletre visszavezethető exponenciális egyenlet. Vegyük észre, hogy a ${4^x}$ (ejtsd: négy az ikszediken) a ${2^x}$ négyzete. Vezessünk be egy új változót, a ${2^x}$-t jelöljük y-nal. Az y beírása után másodfokú egyenletet kapunk. Ennek a megoldása még nem a végeredmény, ki kell számolni az x-eket is. Itt felhasználjuk, hogy a számok 0. hatványa egyenlő 1-gyel. A kapott gyökök helyesek. Ha az egyenletben az ismeretlen a kitevőben van, akkor exponenciális egyenletről beszélünk. Többféle exponenciális egyenlettel találkoztunk. A legegyszerűbbeknek mindkét oldala egytagú. Ezeket úgy alakítjuk át, hogy ugyanannak a számnak a hatványai legyenek mindkét oldalon. Ha az egyik oldal többtagú és a kitevőkben összeg vagy különbség szerepel, a megfelelő hatványazonosságot alkalmazzuk, majd összevonunk, és osztunk a hatvány együtthatójával. A harmadik típusfeladat a másodfokúra visszavezethető exponenciális egyenlet. Ez tartalmaz egy hatványt és egy másik tagban annak a négyzetét.

Exponencialis egyenletek feladatok

Előzetes tudás Tanulási célok Narráció szövege Kapcsolódó fogalmak Ajánlott irodalom Ehhez a tanegységhez ismerned kell a pozitív egész, 0, negatív egész és racionális kitevőjű hatvány fogalmát, a hatványozás azonosságait, az exponenciális függvényt, a másodfokú egyenlet megoldóképletét. A tanegységből megismered az exponenciális egyenletek típusait, megoldási módszereiket. Sokféle egyenlettel találkoztál már a matematikaórákon: elsőfokú, másodfokú, gyökös, abszolút értékes. Most egy újabb egyenlettípussal ismerkedünk meg. Oldjuk meg a következő egyenletet: ${5^x} = 125$ (ejtsd: 5 az x-ediken egyenlő 125). Ebben az egyenletben a kitevőt nem ismerjük. A kitevő idegen szóval exponens, innen kapta a nevét az exponenciális egyenlet. Tudjuk, hogy a 125 az 5-nek 3. hatványa, ezért a megoldás $x = 3$. Más megoldás nincs, mert az $f\left( x \right) = {5^x}$ (ejtsd: ef-iksz egyenlő öt az ikszediken) függvény szigorúan monoton növekvő, egy függvényértéket biztosan csak egyszer vesz fel. A következő egyenlet is hasonló.

  1. A következő 3 nap.edu
  2. Ötös lottó 5 hét
  3. Pirgel Dávid : 220 felett dalszöveg, videó - Zeneszöveg.hu
  4. 11 jellemző tulajdonság, amely azt bizonyítja, hogy a gyereked egy igazi zseni!
  5. Szeged város közlekedése
  6. A Racing Django futott be elsőként a Kékszalagon
  7. Mi van a gépemben

Exponenciális egyenletek | zanza.tv

A 81 a 3-nak 4. hatványa. Az $f\left( x \right) = {3^{1 - 2x}}$ (ejtsd: ef-iksz egyenlő három az egy-mínusz-kétikszediken) függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért a kitevők egyenlők. Az eredmény $x = - \frac{3}{2}$. (ejtsd: mínusz három ketted) Ellenőrzésképpen helyettesítsük be az eredményt az eredeti egyenletbe! Minden exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért az ilyen típusú feladatokban a kitevők egyenlősége mindig ebből következik. 4 az x-ediken egyenlő 128. A 128 nem egész kitevőjű hatványa a 4-nek, de van kapcsolat a két szám között. A 4 a 2-nek a 2. hatványa, a 128 pedig a 7. Ha hatványt hatványozunk, összeszorozhatjuk a kitevőket. Innen a szokásos módon folytatjuk: a kitevők egyenlőségét felhasználva megkapjuk az x-et. A megoldás helyességét visszahelyettesítéssel ellenőrizzük. Oldjuk meg az egyenletet az egész számok halmazán! Ebben a példában minden szám a 2 hatványa. A 8 a kettő 3. hatványa, ezért az $\frac{1}{8}$ a –3. (ejtsd: mínusz harmadik) A 4 a 2 négyzete. A bal oldalon felhasználjuk, hogy azonos alapú hatványok szorzatában összeadhatjuk a kitevőket, a jobb oldalon pedig a hatvány hatványozására vonatkozó azonosságot és a negatív kitevőjű hatvány fogalmát alkalmazzuk.

Ha egy egyenletben az ismeretlen a kitevőben van, azt exponenciális egyenletnek nevezzük. Az ilyen egyenletek megoldásakor - ha lehet -, akkor megpróbáljuk az egyenlet két oldalát azonos alapú hatványként felírni, s ezek egyenlőségéből következik a kitevők egyenlősége (mert az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű). Példák: 2 x = 16 2 x = 2 4 Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így x = 4 -------- (1/5) 2x+3 = 125 (5 -1) 2x+3 = 5 3 5 -2x-3 = 5 3 Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így -2x-3 = 3 -2x = 6 x = -3 -------- 10 x = 0, 0001 10 x = 10 -4 Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, ezért x = -4 -------- (1/125) 3x+7 = ötödikgyök(25 4x+3) Az ötödikgyököt átírjuk 1/5-dik kitevőre; illetve alkalmazzuk a hatvány hatványozására vonatkozó azonosságot: kitevőket összeszorozzuk. (5 -3) 3x+7 = ((5 2) 4x+3) 1/5 5 -9x-21 =(5 8x+6) 1/5 5 -9x-21 = 5 (8x+6)/5 Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, így -9x - 21 = (8x + 6)/5 -45x - 105 = 8x + 6 -111 = 53x -111/53 = x -------- Egy másik módszer, hogy új ismeretlent vezetünk be, annak érdekében, hogy egyszerűbben kezelhessük az egyenletet.

February 18, 2022